Gravitační pole

prostor kolem každého hmotného tělesa, ve kterém těleso na okolní těleso působí gravitační silou
gravitační síla je vždy přitažlivá, s rostoucí vzdáleností se zmenšuje
působení je vzájemné – např. my na Zemi působíme stejnou silou jako ona na nás – akce a reakce
na nás kromě gravitační síly působí ještě odstředivá síla (to jak se Země otáčí kolem své osy), když spojíme tyto dvě síly, získáme silou tíhovou

Newtonův gravitační zákon

gravitační síla se znací F_g (neplést s tíhovou, která se značí F_G)
obecný vzoreček zní: , kde m₁ a m₂ jsou hmotnosti obou těles (např. Země a člověka)
gravitační konstanta má tuto hodnotu:

Jakou gravitační silou na sebe navzájem působí dva lidé vážící 50kg a vzdálení 1m?
m₁ = 50kg
m₂ = 50kg
r = 1m
r² = 1
F_g = ϰ × 50×50 ÷ 1 = ϰ × 2500 = 6,67 × 10^-11 × 25 × 10² = 1,67 × 10^-7N

Jaká gravitační sila působí na člověka o hmotnosti 50kg na povrchu Země?
M_Z = 6 × 10²⁴
R_Z = 6378km
m = 50kg
F_g = ϰ × (50×6×10²⁴) ÷ 6378² = 492N

Gravitační zrychlení

a_g = F_g÷m = (ϰ × M_Z×mR_Z²) ÷ m = ϰ × M_ZR_Z² = 9,838m/s²
Pokud chceme počítat i s jinou vzdáleností od Země, můžeme použít obecnější vzoreček:
,kde h je vzdálenost od Zemského povrchu

Jak velkou gravitační silou na sebe působí Země a Slunce? Slunce má hmotnost 2×10³⁰, Země 6× 10²⁴. Vzdálenost mezi nimi je ca 150 000 000km.
m₁ = 2 × 10³⁰
m₂ = 6 × 10²⁴
r = 150 000 000km
F_g = ϰ × m₁×m₂r²
Ponecháno jako cvičení pro čtenáře.

Tíhové zrychlení

jelikož se Země otáčí poměrně vysokou rychlostí, nemůžeme zanedbat odstředivou sílu, která na nás díky tomu působí.



Tíha (G) působí na styčné ploše mezi tělesem a podložkou
F_g – působí v těžišti tělesa
obě dvě tyto síly jsou jiné (zastupují něco jiného), ale mají stejnou číselnou hodnotu

Pohyby těles v gravitačním poli

Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země

počítáme se zrychlením g = 10m/s²

• Volný pád

  v = gt
  s = 1/2gt²

• Vrh svislý vzhůru

  nahoru se těleso pohybuje pohybem rovnoměrně zpomaleným (opět se zrychlením g), v nějakém okamžiku se zastaví a padá dolů volným pádem
  Těleso dopadlo stejnou rychlostí, jako vyletělo, protože na něj působí pořád stejné zrychlení
  
  okamžitá rychlost:
  v = v₀ - gt
  
  okamžitá výška:
  y = v₀t - 1/2gt²
  
  jak dlouho poletí:
  t_h = v₀ ÷ g (jak dlouho letěl nahoru)
  
  t = 2v₀ ÷ g
  
  výška výstupu (dá se odvodit od vzorečku pro y):
  h = v₀² ÷ 2g

  Těleso bylo vrženo do výšky 80m svisle vzhůru. Jakou rychlostí bylo vrženo, jakou rychlostí dopadlo, jak vysoko se nacházelo v čase 2s a 6s? Jak dlouho letělo?
  h = v₀² ÷ 2g
  160g = v₀²
  v₀² = 1600
  v₀ = 40m/s
  
  Bylo vrženo rychlostí 40m/s. Také víme, že velikost rychlosti vrhu a dopadu je stejná, tj. těleso dopadlo také rychlostí 40m/s, i když opačným směrem
  
  t₁ = 2s
  t₂ = 6s
  y₁ = v₀t₁ - 1/2gt₁²
  y₁ = 40 × 2 - 1/2 × 10 × 2²
  y₁ = 80 - 5 × 4 = 60m
  
  y₂ = v₀t₂ - 1/2gt₂²
  y₂ = 40×6 - 1/2 × 10 × 6²
  y₂ = 240 - 5 × 36
  y₂ = 60m (při klesání)
  
  t = 2v₀ ÷ g
  t = 2×40 ÷ 10
  t = 8s

  Těleso letělo svisle vzhůru, po 3s letu mělo rychlost 20m/s. Určete jakou rychlostí bylo vrženo, jak vysoko doletělo, jak dlouho letělo.
  Nejdříve musíme zjistit, s jakou rychlostí bylo vrženo:
  v = v₀ - gt
  20 = v₀ - 10×3
  v₀ = 50m/s
  
  Nyní už zase počítáme jen podle vzorečků:
  h = v₀² ÷ 2g = 50² ÷ 2×10 = 2500 ÷ 20 = 125m
  t = 2×v₀ ÷ g = 2 × 50 ÷ 10 = 10s

  Těleso se po 3s letu nacházelo ve výšce 135m. Spočtěte, jakou jakou rychlostí bylo vrženo, jak vysoko doletělo, jak dlouho letělo.
  DÚ

• Vrh vodorovný

  
  Pohyb tělesa je složený z vodorovného pohybu vodorovným směrem a z volného pádu svislým směrem. Čím déle těleso padá, tím vyšší je rychlost svislým směrem
  dopad:
  x = d (d je vzdálenost dopadu) = v₀t_h
  y = 0 = h - 1/2gt_h²
  t_h = √(2h/g)

• Vrh šikmý vzhůru

  Kombinace vrhu svislého vzhůru a vrhu vodorovného – pokud rozložíme rychlost, získáme jednotlivé složky
  

Z výšky 20m byla vržena dvě tělesa – jedno vodorovně rychlostí 10m/s, druhé bylo upuštěno s nulovou rychlostí. V jaký čas tělesa dopadla a do jaké vzdálenosti dopadlo těleso vrženo vodorovně?
Ponecháno jako cvičení pro čtenáře.

Z okna ve výšce 30m byl vodorovným směrem vržen míček rychlostí 5m/s. Určete, jakou rychlostí dopadl.
Určíme si, jakou rychlostí by dopadl, kdyby byl pouze upuštěn, pak tuto rychlost vektorově sečteme s rychlostí vrhu.
v_v = 5m/s t = √(2h/g) = √(60/10) = √6
v_g = gt = 10√6m/s
v = √(v_v² + v_g²) = √(25+600) = √(625) = 25m/s

V jaké vzdálenosti od zemského povrchu je velikost grav. zrychlení vzhledem k jeho velikosti na povrchu Země?
a₁ = a_g/2
a_g = ϰ × (M_Z ÷ R_Z²)
a₁ = ϰ × (M_Z ÷ (R_Z+h)²)
ϰ × (M_Z ÷ (R_Z+h)²) = ϰ × (M_Z ÷ R_Z²) × 1/2
1/(R_Z+h)² = 1/R_Z²
(R_Z+h)² = √2 × R_Z
R_Z+h = √2 × R_Z
(√2 - 1) R_Z = h
h = 2642km

244/5
Z rozhledny vysoké 80m byl vodorovným směrem vržen šíp rychlostí 30 m/s. Za jakou dobu a v jaké vzdálenosti dopadl? (Rovina v okolí věže je vodorovná)
h = 1/2gt²
80 = 1/2 10 × t²
t² = 16
t = 4s

s = v₀t = 30 × 4 = 120m
v_dopad = √(v₀² + gt²) = √(2500) = 50m/s

Pohyby těles v radiálním gravitačním poli

1. kosmická rychlost – rychlost, která je potřeba, aby těleso obíhalo Zemi po kružnici (v nulové výšce nad Zemí); ca 7,9 km/s

Za jak dlouho oběhne ISS Zemi?

V jaké výšce nad Zemí se nachází těleso, které ji po kružnici obíhá rychlostí 5km/s?
v_k = 5000 m/s
v_k = √(ϰ × M_ZR_Z + h)
5000 = √(6,67 × 10^-11 × 6 × 10²⁷6378000 + h)
5000 = √(40 × 10¹⁷6378000 + h) / ²
25000000 = 40 × 10¹⁷6378000+h
25000000(6378+h) = 40 × 10¹³
6378000+h = 16000000
h = 9622000m = 9622km

V jaké výšce nad Zemí se nachází stacionární družice Země?
Stacionární družize je ta, která okolo Země oběhne za 24h
dráha takové družice je dlouhá (6378+h) × 2π, neboť se pohybuje po kružnici o poloměru 6378+h
Tudíž v_k = (6378+h) × 2π ÷ (24×3600) (musíme převádět na sekundy)
dosadíme:
v_k = √(ϰ × M_ZR_Z + h)
((6378000+h) × 2π) ÷ (24×3600) = √(ϰ × M_ZR_Z + h)
((6378000+h) × 2π) ÷ (86400) = √(6,67 × 10^-11 × 6 × 10²⁷6378000 + h) / ²
((6378000+h)² × 4π²) ÷ 7464960000 = 40 × 10¹⁷6378000 + h / × (6378000+h)
(6378000+h)³ × π² ÷ 1866240000 = 40× 10¹⁷ (6378000+h)³ = 40 × 1866240000 ÷ π² × 10¹⁴
(6378000+h)³ = 7,5636 × 10²³
6378000+h = ∛(7,5636 × 10²³)
h = 91112069 - 6378000 = 84734,068km

Pohyby těles v gravitačním poli Slunce

původním názorem byl názor geocentrický (v centru vesmíru je Země)
dalším byl názor Galilea Galileie – názor heliocentrický – v centru vesmíru je Slunce; tento názor byl také špatný (Slunce je sice středem naší soustavy, ale ne Vesmíru)
Kepler vyslovil 3 zákony:

• Planety se pohybují okolo Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce
  
• Obsah ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času je pořád stejný. (průvodič planety je spojnice planety a Slunce)
  bod oběžné dráhy planety, kde je planeta nejblíže ke Slunci, je perihelium; bod, kdy je planeta nejdále, je afelium
• Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin jejich hlavních poloos
  neboli:
  T₁² / T₁² = a₁³ / a₂³
  kde T₁ a T₂ jsou oběžné doby dvou planet a a₁ a a₂ jsou jejich hlavní poloosy.
  Místo hlavních poloos můžeme použít střední poloměry:
  
  T₁² / T₁² = r₁³ / r₂³

DÚ 143/4

Let rakety do atmosféry

• Výstup do atmosféry – raketa spotřebuje naprostou většinu svého paliva
• Oběh okolo Země – spotřeba paliva je nulová
• Sestup do atmosféry – raketa brzdí

Neptun je od Země vzdálen ca 30AU, za jak dlouho k němu doletí raketa rychlá 20km/s?
v = 20km/s = 72000km/h = (72000×24×365/150000000)AU/rok = 4,2048AU/rok
s = 30AU
t = s/v = 30/4,2048 = 7,134 let

Saturn je od Slunce vzdálen 9,58AU, jak dlouho obíhá Slunce?
My víme, jak vzdálená je Země a jak dlouho obíhá Země Slunce
Dosadíme do vzorce: T₁² / T₁² = r₁³ / r₂³
T₁² / 1 = r₁³ / 1
T₁² = r₁³
T₁ = √9,58³ = 29,651 let

Jak daleko je od Slunce Venuše, jestliže ho oběhne za 223,4 dnů?
t = 223,4 dnů = 0,612 pozemského roku
(opět použijeme Zemi jako "referenční planetu")
T₁² = r₁³
r₁ = ∛T₁² = ∛0,612² = 0,721AU

Míč vržený svisle vzhůru se vrátil za 4s. Do jaké výšky vystoupil, jakou rychlostí byl vržen, jakou rychlostí dopadl, v jaké výšce nad zemí byl v čase 1s a 3s?
t = 4s
t = 2v₀/g
4 = 2v₀/g
2 = v₀/g
v₀ = 2g = 20m/s

h = v₀² / 2g = 20² / 20 = 20m
víme, že rychlost dopadu je u vrhu svisle vzhůru stejná jako rychlost vrhu
y₁ = v₀t - 1/2gt² = 20×1 - 1/2×10×1² = 20-5 = 15m
y₂ = v₀t - 1/2gt² = 20×3 - 1/2×10×3² = 60-45 = 15m