Mechanická práce a mechanická energie

Mechanická práce

mechanikou práci konáme, jestliže působením síly F posouváme těleso po dráze s ve směru této síly
pokud nepůsobíme přímo ve směru posunu, musíme si sílu rozložit (jedna složka bude naše chtěná síla) – např. pomocí funkce cosinus. Obecnější vzoreček tedy bude: Pokud těleso zvedáme svisle nahoru, působíme silou opačnou k síle tíhové
Pokud těleso taháme nahoru po nakloněné rovině, vzoreček je stejný, protože ve výsledku nám nezáleží na úhlu, tj. při zvedání tělesa počítáme práci vždy stejným způsobem
Stejně jako u zrychlení počítáme práci jako obsah grafu:

Auto jede po vodorovné silnici rovnoměrnou rychlostí
veškeré odporové síly jsou 3kN
určete práci, kterou vykoná motor na dráze 6km
F = 3kN = 3000N (motor musí působit stejnou silou, aby auto jelo rovnoměrnou rychlostí)
s = 6km = 6000m
W = 3000 × 6000 = 18 000 000 = 18MJ

Jakou mechanickou práci vykonáme, pokud pětikilové závaží a) zvedneme do výšky 2m, b) držíme do výšky 2m c) přemístíme ve vodorovném směru ve vzdálenosti 2m
a)
h=2m m=5kg
W = mgh = 10×10 = 100J
b)
s = 0m
m = 5kg
W = mgh = 0 (s tělesem nehýbeme)
c)
my údajně působíme pouze kolmo nahoru, těleso se pohybuje doprava. My tedy na pohybu tělesa údajně nemáme žádný vliv, takže nekonáme žádnou práci

Po vodorovné trati se rozjíždí vlak se zrychlením 0,5m/s². Jakou práci vykoná lokomotiva se stálou tažnou silou 40kN za 1 minutu?
Musíme si spočítat dráhu
a = 0,5
F = 40kN = 40000N
t = 1min = 60s

s = s₀ + v₀t + 1/2at² = 1/2at² = 1/2 × 0,5 × 3600
s = 900m

Nyní už použijeme jednoduchý vzoreček

W = F×s = 40000 × 900 = 36 000 000J = 36MJ

Chceme vytáhnout hřebík zatlučený 6cm, působíme průměrnou silou 120N. Jakou vykonáme práci?
s = 6cm = 0,06m
F = 120N
W = Fs = 0,06×120 = 7,2J

S jakým zrychlením se pohybuje automobil o hmotnosti 1,2 tun, jestliže ho táhne motor silou 2,5kN a zoráveň na něj působí odporové a třecí síly o velikosti 900N?
m = 1200kg
F = 2500 - 900 = 1600N (výsledná síla)
F = m × a
1600 = 1200a
a = 1,33 m/s²

Z pušky vyletěla střela rychlostí 700m/s, jakou rychlostí se bude zpětně pohybovat puška, jestliže střela váží 20g a puška 5kg?
v₁ = 700m/s
m₁ = 20g
m₂ = 5000g
v₂ = ?
p₀₁ = 0 (na začátku se hybnost pušky i hybnost kulky rovná nule)
p₀₂ = 0
p₀₁ + p₀₂ = p₁ + p₂
0 = m₁v₁ + m₂v₂
0 = 20×700 + 5000v₂
14000 = -5000v₂
v₂ = -2,8m/s (2,8 m/s opačným směrem)

Automobil projíždí zatáčkou o poloměru 80m, jakou nejvyšší rychlostí může jet, jestliže součinitel smykového tření je 0,5?
F_t = f × F_n = f × F_g = f × mg (jelikož silnice je vodorovná, F_n=F_g)
F_t = 0,5mg
F_d = m×a_d = m×v²÷r

F_d = F_t (aby automobil nedostal smyk, musí být F_d nejvýše F_t)
m×v²÷r = fmg v₂÷r = fg
v₂ = rfg
v = √(rfg)
v = √(80×0,5×10)
v = √(400)
v = 20m/s

centrifuga se otočí za 2s, má poloměr 6m. Jaké přetížení působí na kosmonauta?
F_o = F_d
F_d = ma_d
a_d = ω²r = (2π/T)² × r = (2π/2)² × 6 = π² × 6 = 60m/s² = 6g

Ve výtahu upustíme těleso, zjistíme, že vůči pozorovateli padá se zrychlením 12m/s². Jakým směrem jede výtah? Zrychluje, zpomaluje, stojí?
Výtah určitě nestojí, nebo se nepohybuje rovnoměrně, jelikož pak by těleso padalo vůči pozorovateli volným pádem, neboli 10m/s²
Těleso se sice pohybuje volným pádem, ne však vůči pozorovateli. Pozorovateli se tedy zdá, že těleso k podlaze zrychluje více, než při volném pádu, podlaha (a celý výtah i s pozorovatelem) musí tedy zrychlovat směrem nahoru. To se děje ve dvou případech – když se výtah rozjíždí směrem nahoru, nebo když jede dolů a brzdí.

Vlak o hmotnosti 800t jede po vodorovné trati rychlostí 72km/h. Zastaví za 400m. Určete brzdnou sílu vlaku.
m = 800 000kg
v₀ = 72km/h = 20m/s
a = ?
F = ?
F = m×a
s = v₀t - 1/2at²
víme, že t = v₀ ÷ a
s = v₀ × (v₀ ÷ a) - 1/2a × (v₀² ÷ a²)
400 = v₀²÷a - 1/2 v₀² ÷ a
400 = 1/2 v₀² ÷ a
400 = 1/2 × 400 ÷ a
400 = 200÷ a
400a = 200
a = 0,5m/s²

Energie

Kinetická energie

značí se E_k
W = F×s
My víme, že F = m×a, a že s = 1/2at²; dosazením získáme (opět stačí znát jen výsledné vzorečky):
W = m×a × 1/2at² = W = 1/2m a²t² = 1/2m(at)² = 1/2mv²

Pro nulovou počáteční rychlost platí E_k = W, pro nenulovou platí W = delta E_k (kde delta E_k je rozdíl kynetické energie před a po provedení práce)
obecný vzoreček vztahu práce–kynetická energie tedy je: (kde E_k0 je kynetická energie, kterou mělo auto před prací)

Máme tunové auto, jakou vykoná práci, když a) zrychluje z 0 na 90km/h b) zrychluje z 54 na 90km/h?
Ponecháno jako cvičení pro čtenáře.

Potenciální energie

, kde h je nějaká výška (výška od hladiny moře, od zemského jádra, od podlahy, ...)
Rovná se vlastně práci, kterou bylo nutno vynaložit, aby se těleso od země (podlahy, hladiny moře, ...) dostalo do výšky h.
Pokud už těleso má nějakou potenciální energii (už v nějaké nenulové výšce leží), platí:
(kde Δh je výška, o kterou jsme těleso zvedli)

Potenciální energie závisí na volbě nulové výšky.

Mechanická energie

Pokud např. vyhodím nějaké těleso, toto těleso se i pohybuje, i má nějakou potenciální energii. Abychom zjistili jeho mechanickou energii, tyto dvě energie pouze sečteme:

Těleso o hmotnosti 1kg padá z výšky 80m. Jak se bude každou vteřinu měnit jeko polohová, kynetická a mechanická energie?
(využíváme vzorečků s = 1/2gt² a v = gt, také vzorečky pro jednotlivé energie)
t=0, E_k=0 (v=0m/s), E_p=800J, E=E_k+E_p=800J
t=1s, E_k=50J (v=10m/s), E_p=750J, E=E_k+E_p=800J
t=2s, E_k=200J (v=20m/s), E_p=600J, E=E_k+E_p=800J
t=3s, E_k=450J (v=30m/s), E_p=350J, E=E_k+E_p=800J
t=4s, E_k=800J (v=40m/s), E_p=0J, E=E_k+E_p=800J

Zákon zachování mechanické energie – Celková mechanická energie v izolované soustavě je konstantní.

Výkon, příkon

výkon: jednotkou výkonu je W, watt
Dosazením získáme: P = (F×s) ÷ t = F×v, toto však platí jen pro pohyb rovnoměrný přímočarý

příkon: P₀ = E÷t
příkon je celkový výkon (tj. nepočítáme jen s prací, ale celkovou energií), který vykonáme, a to včetně ztrát (tření, ...)

účinnost: účinnost je poměr mezi výkonem (částí našeho úsilí, která "dělá něco užitečného") a příkonem (celým naším úsilím, včetně ztrát)
platí, že 0 < η ≤ 1
občas můžeme účinnost psát v procentech

Místo wattů můžeme pro práci používat kilowatthodinu:

1kWh = 1000Wh = 3600 000Ws
odvodíme: 1W = 1J/1s / × s
1Ws = 1J

tj. 1kWh = 1000Wh = 3600 000Ws = 3600 000J = 3,6MJ

Zavazadlo těžké 6kg jsme zvedli do výšky 2m, a) s nulovým zrychlením, b) se zrychlením 0,5m/s². Jakou práci vykonáme? a)
F = mg = 60N
W = Fs = 60×2 = 120J
b)
F = m(g+a) = 60 × 10,5 = 63 (kromě gravitačního zrychlení 10m/s² ještě přidáváme další 0,5m/s² zrychlení)
W = Fs = 63×2 = 126J

Jakou mechanickou práci vykoná chodec o hmotnosti 80kg, jestliže ujde 1,5km, jestliže při každém kroku zvedá své těžiště o 2cm? Jeden jeho krok má 70cm.
m=80kg
s=1,5km
h_každý=2cm
k=70cm
Celkem ujde 1500/0,75=2000 kroků, dohromady se tedy zvedne o 2×2000 = 4000cm = 40m, tj. h=40m
W = mgh = 80×10×40 = 32000J = 32kJ

osoby o celkové hmotnosti 200kg jely ve výtahu z přízemí do 3. patra, každé patro je vysoké 3m. Výtah váží 500kg. Jakou podal výtah práci, kolik energie výtah získal? Jaký výkon podal elektromotor, jestliže to trvalo 5s? Jaký podal příkon, jestliže je účinnost 0,9?
m₁ = 200kg
m₂ = 500kg
m = m₁ + m₂ = 700kg
h = 9m

W = mgh = 700×10×9 = 63kJ
E = W = 63kJ

P = W÷t = 63÷5 = 12,6W
P₀ = P ÷ η = 14W

118/2
Automobil jede po vodorovné silnici stálou rychlostí 20m/s, přičemž motor pracuje s výkonem 20kW. Jak velká odporová síla působí proti pohybu?
Velikost odporové síle musí být stejná jako velikost tahové síly, jinak by auto zpomalovalo nebo zrychlovalo.
v = 20m/s
P = 20000W

P = Fv
20000 = 20v
v = 1000N

Ocelovou trubku o hmotnosti 20kg a délce 5m jsme zvedli do svislé polohy. Jakou práci jsme při tom vykonali? Jak jsme zvedli její potenciální energii?
m = 20kg
h = 5m
Ponecháno jako cvičení pro čtenáře.

Z okraje střehy se uvolnila taška. Jak velkou rychlostí padala, jestliže padala z výšky 7,2m? Nesmíme použít vztahy pro volný pád.