Dynamika hmotného bodu a soustavy hmotných bodů

Dynamika se zabývá tím, proč se těleso pohybuje, tak jak se pohybuje.
Základní veličinou je síla. Síla je vektor, značí se F, její jednotkou je N. Síla je vzájemné působení těles.
Budeme se bavit o klasické dynamice, jejím protipólem je relativistická dynamika.
Klasická dynamika je dynamikou malých rychlostí (rychlostí zanedbatelných oproti rychlosti světla) a velkých těles (těles viditelných lidským okem)

Vzájemné působení těles

Vzájemné působení těles = síla
Síla může mít různé účinky – deformační a pohybové (pohybové = posuvné+otáčivé)
Nás budou zajímat převážně pohybové účinky
Pokud na těleso působí nenulová výsledná síla, těleso mění svojí rychlost nebo směr (auto se rozjíždí, brzdí, zatáčí).
Síla může působit i na dálku – a to pomocí silových polí – gravitační, magnetické, či elektrické pole
Pro určení pohybového účinku sil na těleso je důležitá jejich výslednice.

Newtonovy pohybové zákony

izolované těleso – takové těleso, na které nepůsobí žádné vnější síly (to by ale bylo těžké, jelikož by na něj nemohla působit ani např. gravitace, takže cokoliv v gravitačním dosahu např. Slunce by nebylo izolované), izolované těleso je také to, u kterého jsou síly na něj působící v rovnováze.
Izolované těleso vždy setrvává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém.
Toto zároveň říká 1. Newtonův zákon: Jestliže těleso setrvává v daném pohybovém stavu, má nulové zrychlení.
inerciální vztažná soustava – taková soustava, ve které platí 1. Newtonův zákon; nemůžeme najít ideální takovou soustavu, my ale za inerciální vztažnou soustavu považujeme tu, která je v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém vzhledem k Zemi. Každá jiná soustava je neinerciální (rozjíždějící se autobus, brzdící autobus, ...)

(tento vztah jsme znali už dříve – tíhová síla F_G = mg)

S jakým zrychlením se pohybuje autobus, jestliže tahová síla motoru je 2,4 kN a třecí síly působí dohromady rychlostí 800N. Hmotnost autobusu je 1,2 tuny.
F_M = 2,4kN
F_G = 800N
F = F_M - F_G = 1600N
m = 1200kg
F = ma
1600 = 1200a
a = 4/3 m/s²

DÚ 75/1

Jestliže na těleso působí konstantní výsledná síla, těleso se pohybuje s konstantním zrychlením.

Nabízí se využití v podobě dynamického měření hmotnosti – m = F÷a (tj. pokud známe gravitační zrychlení a sílu působící na těleso, můžeme vypočítat i hmotnost tělesa)

Hybnost hmotného bodu

Hybnost nám říká, jakou silou musíme působit na těleso, abychom ho uvedli do nějaké rychlosti.
Pokud se snažíme uvést těleso, bude to tím těžší, čím větší hmotnost bude těleso mít. Také to bude tím těžší, čím rychleji se snažíme tělesem pohybovat.
[p] = kg × m × s^-1, neboli kg × m / s

Hybnost charakterizuje pohybový stav tělesa v dané vztažné soustavě (tj. je to veličina relativní).
F = m × a
F = m × ΔvΔt
F = m × ΔvΔt = ΔpΔt
m × Δv = Δp (když m × v je hybnost a Δv je rozdíl rychlostí, m × Δv je rozdíl hybností)
2. Newtonův zákon se dá také zapsat takto:
Výsledná síla je dána změnou hybnosti v čase.
Vynásobením jednotek také dostáváme, že 1N = 1kg × m × s^-2

Δp = p₂ - p₁ = mv₂ - mv₁ = m (v₂ - v₁) = m × Δv

uč 80/4
m₁ = 30kg
m₂ = 50kg
Druhá dívka táhne také silou 15N, protože platí 3. Newtonův zákon
F = m₁ × a₁
15 = 30 × a₁
a₁ = 15÷30 = 0.5m/s²

F = m₂ × a₂
15 = 50 × a₂
a₂ = 15/50 = 3/10 = 0,3m/s²

Zákon zachování hybnosti

izolovaná soustava – soustava těles, které na sebe můžou působit navzájem, ale okolí na ně nepůsobí
Celková hybnost soustavy se rovná:
p = p₁ + p₂ + ... + p_n
My budeme počítat pouze se dvěmi tělesy, tudíž vzoreček bude:


Ukážeme si, jak odvodit, že hybnost před i po nárazu jsou pořád stejné (není potřeba umět – celé to vypadá strašně složitě, ale stačí umět jen poslední dva vzorečky)

těleso 1: p₀₁ (hybnost před nárazem)   p₁ (hybnost po nárazu)   Δp₁=p₁-p₀₁ (rozdíl těchto hybností)
těleso 2: p₀₂ (hybnost před nárazem)   p₂ (hybnost po nárazu)   Δp₂=p₂-p₀₂ (rozdíl těchto hybností)

F₁ = Δp₁ ÷ Δt
F₂ = Δp₂ ÷ Δt
Musí platit zákon akce a reakce, tj. F₁ = -F₂
Pokud ale platí toto, platí i:
Δp₁ ÷ Δt = - (Δp₂ ÷ Δt)     / × Δt
Δp₁ = - Δp₂
Nyní za Δp₁ a Δp₂ dosadíme:
p₁ - p₀₁ = - (p₂ - p₀₂)
Nyní provedeme jen matematickou úpravu rovnice a získáme dva důležité vzorce:


a:


(kde p je celková hybnost na konci a p₀ je celková hybnost na začátku)
(vzájemným silovým působením těles uvnitř soustavy se celková hybnost nemění).
Podobně platí i zákon o zachování hmotnosti:

Máme dvě tělesa o hmotnostech 100g a 300g. Na začátku byla celková hybnost nulová, na konci mělo 1. těleso rychlost 3m/s, určete, jakou rychlost mělo 2. těleso.
m₁ = 100g
m₂ = 300g
v₁ = 3m/s
p₀ = p = 0
p = p₁ + p₂ = 0
p₁ = p₂
víme, že p = mv, tudíž:
m₁v₁ = m₂v₂
100 × 3 = 300v₂
300 = 300v₂
v = 1m/s

puška o hmotnosti 4kg vystřelí náboj o hmotnosti 20g rychlostí 600m/s. Jak rychle se začne pohybovat puška, pokud není upevněna?
m₁ = 4kg
m₂ = 20g
v₂ = 600m/s

p = 0
p₁ + p₂ = 0
p₁ = p₂
m₁v₁ = m₂v₂
4000 × v₁ = 20 × 600
4000v₁ = 12000
v₁ = 3m/s

Jeden vagón váží 21 tun a jede rychlostí 1m/s. Druhý vagón váží 14 tun a jede rychlostí 3m/s. Druhý vagón narazí do prvního (jedou stejným směrem, druhý vagon dohání ten první) a vagóny se spojí. Jak rychle pojedou po nárazu?
m₁ = 21t
v₀₁ = 1m/s
m₂ = 14t
v₀₂ = 3m/s

m₁v₀₁ + m₂v₀₂ = m₁v₁ + m₂v₂

Problém je, že máme dvě neznámé – v₁ a v₂. My však víme, že po srážce jedou spojené – stejnou rychlostí, tj. v₁ = v₂. Budeme tedy místo v₁ a v₂ používat jen v:

m₁v₀₁ + m₂v₀₂ = m₁v + m₂v
21 × 1 + 14 × 3 = 21v + 14v
21 + 42 = 35v
35v = 63
v = 7/5 = 1.8m/s
Na principu zachování hybnosti pracují reaktivní motory (např. u raket) – plyny jdou jedním směrem, raketa druhým

Smykové tření

Smykové tření je náraz nerovností styčných ploch – tím vzniká třecí síla, která má směr opačný ke směru pohybu tělesa.
Velikost třecí síly závisí na

• kvalitě (obou) styčných ploch – tu nám charakterizuje součinitel smykového tření (f ); nemá jednotku
• hmotnosti tělesa – ne na samotné hmotnosti, ale na síle, kterou působí těleso kolmo na podložku – normálová síla, F_n
  Fn = Fg × cos α
  

naopak nezáleží na velikosti styčných ploch, ani na rychlosti pohybu

Třecí síla se značí F_t


Zavádí se ještě součinitel klidového tření, f₀ – ten platí pouze, pokud je těleso v klidu

kromě smykového tření existuje ještě valivé tření, které je způsobeno tím, že koule se dotýká s povrchem jen v jednom bodu, na který ale působí velkou silou – tento povrch se deformuje a koule před sebou "valí" zem

87/3
Jaká je nejkratší vzdálenost, na které může zastavit automobil, který jede rychlostí 72km/h a součinitel smykového tření mezi pneumatikami a vozovkou je 0,25?

v₀ = 72km/h = 20m/s
v = 0m/s (konečná rychlost je nulová, protože zastavíme)
f = 0,25
F_t = f × F_G = f × m×g = 0,25 × 10 × m = 2,5×m
F = F_t (automobil zpomaluje pouze s pomocí třecí síly)
a = F ÷ m = 2,5m ÷ m = 2,5m/s²

nyní už máme zrychlení, musíme ale zjistit čas:

v = v₀ - at
0 = 20 - 2,5×t
2,5t = 20
t = 8s

nyní už máme zrychlení i čas, z toho umíme spočítat vzdálenost:

s = s₀ + v₀t ± 1/2at²
s = 0 + 20×8 - 1/2 × 2,5 × 8²
s = 160 - 1/2(2,5 × 64)
s = 160 - 1/2(160)
s = 80m

Máme reaktivní člun (člun, který nasává vodu jedním směrem a vypouští ji druhým směrem; díky tomu se pohybuje), tento člun váží 1,6t. Voda vystřikuje 20m/s, každou sekundu proteče 400l vody (což odpovídá 400kg). Jak rychle se člun pohybuje

v₁ = ?
m₁ = 1,6t
v₂ = 20m/s
m₂ = 400kg
t₂ = 1s (každou sekundu proteče 400kg)

m₁v₁ = m₂v₂ (celková hybnost soustavy, když člun pluje, je nulová)
1600 × v₁ = 400 × 20
1600v₁ = 8000
v₁ = 5m/s

Dostředivá síla

Počítá se klasickým vzorcem: pokud známe úhlovou rychlost, ale nikoli obvodovou, můžeme si odvodit jiný vzoreček: F_d = m × (v² ÷ r)
Dostředivá síla má vždy směr do středu kružnice, po které se těleso pohybuje → tj. je vždy kolmá na směr rychlosti
Jelikož se jedná o pohyb po kružnici, tudíž zrychlení počítáme jako:

Máme provázek o délce 30cm, kulička na něm uvázaná má 50g
My kuličku roztočíme – jak velká dostředivá síla na ni působí, jestliže opisuje kružnici o poloměru 20cm?

l = 30cm
m = 50g
r = 20cm
F_d = ?

Uč. 90/3
m = 2kg
r = 1,1m
F_d = 900N
v = ?
F_d = m × a_d = m × (v² ÷ r)
900 = 2 × v² ÷ 1,1
900 = 1,81v²
v² = 497
v = 22,25m/s

Inerciální vztažné soustavy, Galileiho princip relativity

zákony mechaniky platí stejně ve všech inerciálních vztažných soustavách (rovnice, které je popisují, mají stejný tvar)
všechny inerciální vztažné soustavy jsou si rovnocenné – naměříme v nich stejný čas, hmotnost, zrychlení a sílu.

Neinerciální vztažné soustavy, setrvačné síly

Mějme vagón, ve kterém je např. kulička. Vagón s kuličkou pozorují dva pozorovatelé: pozorovatel A, stojící vně vagónu a pozorovatel B, stojící uvnitř vagónu. Najednou se vagón rozjede. Jelikož kulička není zabržděná, začne klouzat dozadu – z hlediska pozorovatele A je stále na místě, z hlediska pozorovatele B se ale pohybuje.

Abychom zjistili, co způsobuje tento pohyb, musíme zavést sílu F_s, setrvačnou sílu. Tato síla je ale jen vymyšlená, aby se dalo lépe počítat. Tato síla má stejnou hodontu a opačný směr než síla způsobující zrychlení vagónu (těleso se vůči Zemi "snaží zůstat" na stejném místě, vůči vagónu se tedy pohybuje na opačnou stranu):

DÚ 96/3

96/4
m = 2kg
F_g = mg = 10 × 2 = 20N (jakou silou působí na provaz těleso v klidu)
F_max = 60N (jakou celkovou silou můžeme působit na provázek, aniž by se utrhl)
ΔF = 60 - 20 = 40N (jakou silou ještě můžeme působit na provázek, aniž by se utrhl)
F_nahoru = ΔF = 40N (síla, kterou můžeme působit šikmo nahoru, aniž by se provázek utrhl)
F_nahoru = m×a
40 = 2a
a = 20m/s²

Otáčející se vztažné soustavy

F_o = ma_o
F_o je síla odstředivá.

Letadlo dělalo looping. Letadlo letí rychlostí 900km/h, kružnice měla poloměr 10km. Hmotnost pilota je 80kg. Jak velká setrvačná síla působí na pilota?
v = 900km/h = 250m/s
r = 10km = 10 000m
m = 80kg
F_o = m × v² ÷ r = 80 × 250² ÷ 10000 = 500N

Máme ten samý příklad, ptáme se ale, jakou silou působí pilot do sedačky, když je nahoře a když je dole? (tj. bereme v potaz i gravtační sílu)
F_g = mg = 80 × 10 = 800N (tíhová síla, která působí pořád)
F_nahoře = 800 - 500 = 300N směrem dolů, tj. pokud by nebyl připoutaný, spadl by, jelikož sedačka je nahoře (odstředivá síla ho sice "nadnáší", ale pilot je pořád těžší než tato odstředivá síla)
F_dole = 800 + 500 = 1300N směrem dolů (tj. je zatlačován do sedačky)