Kinematika hmotného bodu

Kinematika se zabývá, jak se těleso pohybuje.
Hmotný bod je myšlenkový model tělesa, u něhož zcela zanedbáme rozměry a zachováme hmotnost. Těleso znázorníme jako bod.

Mechanický pohyb

Co je pohyb? – Těleso mění svou polohu vůči jinému tělesu (vůči tzv. vztažnému tělesu).
Těleso se pohybuje, jestliže mění svojí polohu vzhledem k jinému tělesu.
Pohyb a klid jsou pojmy relativní – závisí na volbě vztažného tělesa
Pohyb znázorňujeme na soustavě souřadnic – na grafu
Vztažné těleso + soustava souřadnic = vztažná soustava
Potřebujeme 4 osy – 3 směrové a jednu časovou
A[x,y,z,t] (x,y,z jsou směrové, t je časová)
Kromě rýsování do roviny se dá souřadnice určit polohovým vektorem (nejčastěji se značí r), který může být určen buď jako tělesová úhlopříčka, nebo jako tři úhly, které se stranami tohoto tělesa svírá.

Trajektorie a dráha hmotného bodu

trajektorie je čára, po které se těleso pohybuje; neboli přesněji trajektorie je souhrn všech bodů, které těleso zaujímá
Trajektorie tedy není fyzikální veličina, ale geometrický útvar.
Podle trajektorie dělíme pohyby na přímočaré (trajektorie je část přímky) a křivočaré (jakýkoli pohyb, který není přímočarý).
Pohyb se ještě může dělit na pohyb posuvný a otáčivý (všechny body opisují kružnice, jejichž středy leží na společné ose otáčení). Existuje ještě pohyb kombinovaný, což je kombinace obojího.
dráha je délka trajektorie, je to fyzikální veličina. Dálka se značí s, její jednotkou je metr (m). Neboli:
[s] = m

Závislost dráhy na čase

Graf závislosti – čas je na vodorovné ose, dráha je na svislé – pomůcka – čas nemůže být závislý, závislá je na svislé.

Rychlost

Značí se v, [v] = m×s^-1, neboli neformálně m/s
průměrná rychlost = celková dráhacelkový čas, tj. v_p = st (pomůcka – kmh .. km je jednotka vzdálenosti, h času)
1m/s = 1 m1 s = 0,001 km1÷3600 h = 3,6km/h

Pokud počítám průměrnou rychlost jen na nějakém intervalu, vezmu t₁ jako počáteční čas počítání a t₂ jako koncový čas, stejně tak s₁ jako vzdálenost dosaženou v čase t₁ a s₂ vzdálenost dosaženou v čase t₂.
Δt = t₂ - t₁
Δs = s₂ - s₁
průměrná rychlost na daném intervalu je v_p = Δs÷Δt. Pokud budeme interval zmenšovat, bude se zmenšovat i Δt. Čím více se Δt blíží k nule, tím přesnější je naše měření rychlosti. Pokud jsme dostatečně blízko, můžeme změřit tzv. okamžitou rychlost, což je rychlost a směr v daném místě → okamžitá rychlost je vektor. Okamžitá rychlost má vždy směr tečny trajektorie v daném místě

Určete průměrnou rychlost pohybu hmotného bodu, jestliže první 1/4 dráhy jel 90km/h, 1/2 jel 130km/h a poslední 1/4 jel 50km/h.
v = (1/4×90) + (1/2×130) + (1/4×50) = 100km/h

1/3 dráhy jel rychlostí 60km/h, 2/3 dráhy jel 90km/h.
s₁ = 1/3s
v₁ = 60km/h
s₂ = 2/3s
v₂ = 90km/h
v_p = 1/3s + 2/3ss₁÷v₁ + s₂÷v₂ = s1/3s÷v₁ + 2/3÷v₂ = ss(1/3÷v₁) + s(2/3÷v₂) = 11/(3v₁) + 2/(3v₂) = 1÷ (1÷180 + 2÷270) = 77,14km/h

Rovnoměrný pohyb

Rovnoměrný pohyb znamená, že těleso za stejné doby urazí stejné dráhy.
nerovnoměrný pohyb – jakýkoli pohyb, který není rovnoměrný.
Pří rovnoměrném pohybu je průměrná rychlost rovna rychlosti okamžité.
Graf závislosti vzdálenosti na čase je vždy část přímky (v podstatě je to graf lineární funkce).
Graf závislosti rychlosti na čase je konstantní funkce.
v = st
s = v×t
s = s₀ + vt (pokud těleso ujelo nějakou vzdálenost před začátkem měření)
s = v*(t-t0) (pokud těleso ještě nějakou dobu stálo)

DÚ: 39/4
v₁ = 36km/h
v₂ = 54km/h
Za 10min (1/6h) stihl traktor uject ještě 36÷6km, tj. vzdálenost mezi nimi je:
s₀ = 6km
Auto se k traktoru přibližuje rychlostí v = v₂ - v₁ = 54-36 = 18km/h.
Zbývá tedy spočítat, za jak dlouho ho dostihne:
t = s₀÷v = 6÷18 = 1/3h = 20min po výjezdu automobilu (30 min po výjezdu traktoru)
Zbývá spočítat vzdálenost, jakou za tu dobu auto ujede (tzn. jak daleko od křižovatky se setkají):
s = v×t = 54×1/3 = 54÷3 = 18km.

39/5
s = 15km
v₁ = 10m/s
v₂ = 20m/s
Navzájem se k sobě přibližují rychlostí v = v₁ + v₂ = 10+20 = 30m/s
Tuto rychlost urazí za t = s÷v = 15000÷30 = 500s
Za tu dobu stihl traktor ujet s₁ = 500×10 = 5000m = 5km

Rovnoměrně zrychlený pohyb

Rychlost rovnoměrně zvětšujeme či zmenšujeme – rychlost se za stejnou dobu zvětšuje (zmenšuje) o stejnou hodnotu
Pohyb rovnoměrně zrychlený se charakterizuje pomocí veličiny zrychlení (akcelerace)
Značí se a
Zrychlení je změna rychlosti v čase
a = Δv ÷ Δt (m ÷ m/s)
[a] = m×s^-2, neboli m/s²
v = a×t (počítáme okamžitou rychlost v daném čase)
Graf závislosti rychlosti na čase je u rovnoměrně zrychleného pohybu lineární funkce
Pokud jsme nezačali měřit od nuly, vzoreček je v⁰ + at. Pokud jsme nezačali měřit od nuly a navíc zpomalujeme, vzoreček je v⁰ - at.
Obecný vzoreček je tedy v=v₀ ± at

Automobil zrychloval 30s zrychlením 0,2m/s². Určete jeho rychlost po těchto 30s. t = 30s
a = 0,2m/s²
(Pokud v₀ není zadána, předpokládá se v₀=0)
v = 30×0,2 = 6m/s

Auto zrychlí z 0km/h na 100km/h (= (100÷3.6) m/s = 27,7m/s) za 3s. S jakým zrychlením jel?
a = v÷t = 27,7÷3 = 9.26m/s²

Auto jelo 90km/h a zvýšilo svou rychlost na 126km/h za 5s. S jakým se pohybovalo zrychlením?
Δv = 126-90 = 36km/h = 10 m/s
t = 5s
a = v÷t = 10/5 = 2m/s²

Skútr vyjel z místa A rychlostí 60km/h, za 15min vyjel z místa A také automobil rychlostí 90km/h. Kdy a jak daleko od místa A se potkali?
v₁=60km/h
v₂=90km/h
t₀=1/4h
Δv = v₂-v₁ = 30km/h (dohání ho rychlostí 30km/h)
s₀ = v₁ × t₀ = 60×1/4 = 15km (v době výjezdu auta už je skútr 7.5km daleko)
t = s₀ ÷ Δv = 15÷30 = 1/2h (auto skútr dojede 1/2h po svém výjezdu, neboli 3/4h po výjezdu skútru)
s = 90×1/2 = 45km (což je 45km od bodu A)

Vlak jedoucí rychlostí 90km/h začlal brzdit se zrychlením 1m/s². Určete, jak dlouho brzdil.
v = 90km/h = 25m/s
a = 1m/s²
t = 25/1 = 25s

Dráha pohybu rovnoměrně zrychleného přímočarého

Vzoreček: s = s₀ + v₀t ± 1/2 at²

Auto má zrychlení 1m/s². Jakou dráhu urazilo během 1min? s = s₀ + v₀t ± 1/2 at² = 0 + 0 + 1/2 at² = 1/2 at² = 1/2 × 1 × 60² = 60² ÷ 2 = 1800m = 1.8km

Jakou dráhu urazil automobil při zvyšování rychlosti z 90km/h na 126km/h během 30s?

Těleso urazilo 30m rovnoměrně zpomaleným pohybem s počáteční rychlostí 90km/h a zrychlením -2m/s². Určete, jak dlouho mu to trvalo.
s = 30m
v = 90km/h = 25m/s²
a = -2m/s²

s = s₀ + v₀×t ± 1/2 at²
30 = 0 + 25t - 1/2 2t²
30 = 25t - t²
t² - 25t + 30 = 0
D = b² - 4ac = 625 - 4×30 = 505
√D = √505 = 22,47
x_1,2 = -b ± √D2 = 25 ± 22,472
x₁ = (25+22,47)÷2 = 23,74s
x₂ = (25-22,47)÷2 = 1,27s
Je zřejmé, že to tělesu nemohlo trvat přes 20s, tudíž správný výsledek je 1,27s.

Určete dráhu tělesa, které z rychlosti 54km/h zrychlilo na 108km/h za 5s.
v₀ = 54km/h = 15m/s
v = 108km/h = 30m/s
Δv = 30-15 = 15m/s
t = 5s
a = Δv÷t = 15/5 = 3m/s²

s = s₀ + v₀×t ± 1/2 at²
s = 0 + 15×5 + 1/2 3×5²
s = 0 + 75 + (75/2)
s = 112.5m

Volný pád

Ve volném pádu je počáteční rychlost vždy nulová
Ve vakuu se jedná o pohyb rovnoměně zrychlený – navíc všechna tělesa padají stejně rychle
Ve vzduchu pohyb není rovnoměrně zrychlený, a to kvůli odporu vzduchu
Na povrchu Země je tíhové zrychlení g=9,81m/s²; my budeme počítat se zaokrouhlenou hodnotou g=10m/s²
[g] = N ÷ kg .. To je sice divné, ale N = kg×m×s^-2, takže:
[g] = (kg×m×s^-2) ÷ kg = (kg×m×s^-2) ÷ kg = m/s²
Do vzorečků se zrychlením můžeme pro příklady s volným pádem dosadit g:
v = gt
s = 1/2 × gt²

Z okna z výšky 30m pouštíme míč. Jak rychle a za jak dlouho dopadne míč na zem?
s = 30m
s = 1/2 × gt²
30 = 1/2 × 10t²
30 = 5t²
t² = 6
t = √6 = 2,45s
v = gt = 10 × √6 = 24,5m/s

DÚ – 51/3

Ze střechy pouštíme míč. Horní okraj okna je 3m pod střechou, okno má 1,5m (spodní okraj okna je 4,5m od střechy). Jak dlouho míč míjel okno?
s₁ = 3m
s₂ = 4,5m

s₁ = 1/2 × gt₁²
3 = 1/2 × 10t₁²
5t₁² = 3
t₁² = 3/5 = 0.6s
t₁ = √0.6s (čas, ve kterém míč míjí vrchní okraj okna)

s₂ = 1/2 × gt₂²
4.5 = 1/2 × 10t₂²
5t₂² = 4.5
t₂² = 4.5/5 = 0.9s
t₂ = √0.9s (čas, ve kterém míc míjí spodní okraj okna)

t = t₂ - t₁ = √0.9 - √0.6 = 0,17s (čas, kdy byl míč mezi horním a spodním okrajem okna)

Skládání rychlostí

Dá se provést klasické skládání vektorů (jako u síly)
Tedy: v = v₁ + v₂

Řeka teče rychlostí 2m/s, loďka se vydá na druhý břeh rychlostí 3m/s kolmo ke břehu řeky. Řeka je široká 40m. Jaká bude výsledná rychlost a jak dlouho loďka popluje? s = 40m
v₁ = 2m/s
v₂ = 3m/s

v = √(v₁² + v₂²) = √(4+9) = √13 = 3,6m/s

Loďka ale rychlostí v nepluje rovnou na druhý břeh – pluje šikmo. Loď pluje rychlostí 2m/s po proudu řeky, což nás ale nezajímá – nás zajímá, že kromě toho se směrem na druhý břeh pohybuje stále rychlostí 3m/s.
Vzoreček pro výpočet, za jak dlouho urazí loďka 40m tedy nebude t = s÷v – to by platilo, pokud bychom chtěli urazit 40m šikmo. My ale počítáme s kolmou vzdáleností. A kolmo se pohybujeme rychlostí v₂, takže výpočet je:

t = s÷v₂ = 40÷3 = 13,33s

Při skládání rychlostí platí princip nezávislosti pohybů. Jestliže koná těleso současně dva a více pohybů, je jeho výsledná poloha stejná jako kdyby konalo tyto pohyby po sobě vždy po stejnou dobu v libovolném pořadí.

Parník plul nejprve proti proudu, poté po proudu zpátky. Parník vždy plul vzhledem k řece rychlostí 6m/s, voda v řece teče rychlostí 2m/s (proti proudu jel tedy vůči břehu rychlostí 6-2 = 4m/s, po proudu jel vůči břehu rychlostí 6+2 = 8m/s)
v_parník = 6m/s
v_řeka = 2m/s
v₁ = 4m/s (rychlost proti proudu)
v₂ = 8m/s (rychlost po proudu)
s₁ = s₂ = 6km
t₁ = s₁ ÷ v₁ = 6000÷4 = 1500s = 25min (jak dlouho mu trvalo ujet 6km proti proudu)
t₂ = s₂ ÷ v₂ = 6000÷8 = 750s = 12,5min (jak dlouho mu trvalo ujet 6km po proudu)
Celkový čas t je tedy:
t = t₁ + t₂ = 25+12,5 = 37,5min

Vlak jede rychlostí 72km/h = 20m/s; kapka dopadla na okno rychlostí 50m/s.
Jaký úhel svírá trajektorie kapky na okně s vodorovným směrem (tj. pod jakým úhlem dopadla v této rychlosti kapka?)

Rovnoměrný pohyb po kružnici

Vítek Macura na svých stránkách poskytuje zadání a řešení některých příkladů, včetně správných odpovědí
1 radián je úhel, který dostaneme, když na obvodu kružnice vyznačíme její poloměr ("do zatáčky")
φ = s÷r
(φ = fí)
s je vzdálenost, kterou chceme v kružnici vyznačit
2π rad ≅ 360 ° (potřebujeme provázek dlouhý 2π poloměrů, abychom vyznačili celý kruh)
plný úhel: φ = 2πr ÷ r = 2π
90° ... π÷2 (abychom vyznačili 1/4 kruhu, potřebujeme provázek dlouhý 2π/4 = π/2 poloměru kruhu)
30° ... π÷6
120° ... 2π÷3
úhlová rychlost – o kolik se za nějaký čas zvětší úhel; značí se ω (omega) – jakou část kruhu (v radiánech) za nějaký čas opíše bod
ω = φ ÷ t
[w] = rad × s^-1 (občas se také uvádí jen s^-1)
Rychlost rovnoměrného pohybu po kružnici můžeme také značit jako periodu – dobu, za kterou bod oběhne jednu celou kružnici; perioda se značí T
Můžeme také tuto rychlost značit jako frekvenci, tj. kolikrát za sekundu oběhne bod kružnici; frekvence se značí f.
ω = 2π ÷ T = 2πf
obvodová rychlost – pokud chceme vypočítat klasické v, počítáme tzv. obvodovou rychlost: v = s÷t = 2πr ÷ T = 2πr×f

Zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

Nemyslí se tím, že by těleso zrychlovalo (tj. zvyšovalo svou rychlost), ale že mění směr (jinak by to přeci nebyl pohyb po kružnici, ale pohyb po přímce)
Směr zrychlení je do středu kružnice (tj. těleso "zatáčí" do středu kružnice)
Toto zrychlení se dá počítat přes:
a = ΔvΔt
nebo přes:

Sekundová ručička na hodinkách má délku 1 cm, určete úhlovou rychlost, obvodovou rychlost a zrychlení.
Víme, že sekundová ručička urazí celý kruh (2π radiánu) za 60s
ω = φ ÷ t
ω = 2π ÷ 60 = 0,104 rad/s

v = ω × r = 0,104 × 1 = 0,104cm/s = 1,04mm/s

a = v² ÷ r = 1,04² ÷ 1 = 1,08mm/s²

V případě nerovnoměrného pohybu po kružnici má hmotný bod ještě zrychlení tečné.

Máme stacionární družici, která obíhá 36 000km nad zemí, určete obvodovou a úhlovou rychlost.
Geostacionární družice je ta, která obíhá kolem Země za stejnou dobu, jako se otáčí Země (tj. oběhne Zemi za 24h)
t = 24h = 86400s
r = 6378 + 36000 = 42378km

ω = φ ÷ t = 2π ÷ 86400 = 7,27 × 10^-5 rad/s
v = ω × r = 7,27 × 10^-5 × 42378 = 3,08 km/s
a = v² ÷ r = 2,24 × 10^-4 km/s²

217/3
r = 16cm ÷ 2 = 0,08m
r' = 40cm ÷ 2 = 0,2m
Tj. obvodová rychlost menšího kola je:
v = ω × r = 2πf × r = 2π × 15 × 0,08 = 7,5m/s
Toto je ale zároveň obvodová rychlost řetězu a tím pádem i obvodová rychlost většího kola. Větší kolo má ale jinou úhlovou rychlost:
v = ω' × r'
7,5 = 2πf × 0,2   / 0,2
37,5 = 2πf   / 2π
f = 6Hz

Auto s koly o průměru 60cm se otáčí s úhlovou rychlostí 50rad/s. Jak rychle jede auto?
Obvodová rychlost kola se rovná rychlosti, s jakou auto jede.
ω = 50rad/s
r = 60cm/2 = 0,3m
v = ω × r = 50×0,3 = 15m/s

Vrtule letadla se otáčí rychlostí 200rad/s
Jakou dráhu urazí letadlo během jedné otáčky vrtule, jestliže letí 540km/h?
v_letadlo = 540km/h = 150m/s
Víme, že 2π rad je jeden celý kruh. Pokud za 1s urazí 200rad, za jak dlouho urazí 2π rad?
t = 2π/200 = 0,0314s
Nyní už stačí spočítat, kolik za tu dobu urazí letadlo:
s = 0,0314s × 150 = 4,71m

Vzdálenost dvou kotoučů je 50m, frekvence je 50Hz.
My jsme střelili do těchto otáčejících kotoučů, mezitím, co střela prostřelila první a druhý kotouč, se první kotouč stihl otočit o 25°
s = 50m
f = 50Hz
α = 25°
Víme, že 360° je celý kruh, 25° je tedy: α = (25/360) = 0,07 kruhu
Víme tedy, že kotouč se za nějaký čas otočil o 0,07 kruhu. Kotouč se otočí 50-krát za 1s, za jak dlouho se otočí 0,07-krát?
t = 0,07÷50 = 0,0014s
Nyní už máme čas, který trvalo kulce urazit mezi dvěmi kotouči, nyní stačí vypočítat rychlost:

v = s÷t = 50 ÷ 0,0014 = 35714m/s ?? blbě, špatně

60/2
r = 100m
v = 72km/h = 20m/s
a = v² ÷ r = 400 ÷ 100 = 4m/s²